Die Normalform
Eine lineare Gleichung enthält die Unbekannte nur in der ersten Potenz. Nach dem Zusammenfassen hat sie die Form ax + b = 0 oder ax + b = c mit a ≠ 0.
Jede erlaubte Umformung muss auf beiden Seiten gleichzeitig geschehen. So bleibt die Lösungsmenge unverändert.
Vorgehen
Klammern auflösen
Multipliziere Faktoren in die Klammern, achte auf Vorzeichen.
x auf eine Seite, Zahlen auf die andere
Addiere oder subtrahiere so, dass alle x-Glieder links und alle Zahlen rechts stehen.
Durch den Koeffizienten teilen
Teile durch die Zahl vor x. Danach folgt die Probe in der Ausgangsgleichung.
Beispiel mit Klammern
Löse .
Ausmultiplizieren
2x subtrahieren, 5 addieren
Teilen und prüfen
x = 4. Probe: 5(4 − 1) = 15 und 2 · 4 + 7 = 15.
Typischer Fehler
Nur eine Seite verändern
Falsch5x − 5 = 2x + 7 → 5x = 2x + 7
Richtig5x − 5 = 2x + 7 → 5x = 2x + 12
Wenn du links 5 addierst, musst du rechts ebenfalls 5 addieren.
Brüche in der Gleichung
Stehen Brüche in der Gleichung, multipliziere zuerst mit dem Hauptnenner. Danach ist die Gleichung ganzzahlig und leichter zu lösen.
Beispiel: . Multiplikation mit 6 ergibt 3x + 2x = 30, also x = 6.
Aufgaben
Aufgabe · Leicht
Ohne Klammern
Lösung anzeigen
Aufgabe · Mittel
Mit Klammern
Lösung anzeigen
Aufgabe · Mittel
Mit Brüchen
Lösung anzeigen
Ein Beispiel
Löse 4x − 7 = 2x + 5.
- Subtrahiere 2x auf beiden Seiten: 4x − 2x − 7 = 5, also 2x − 7 = 5.
- Addiere 7: 2x = 12.
- Teile durch 2: x = 6. Probe: 4 · 6 − 7 = 17 und 2 · 6 + 5 = 17.
Darauf kommt es an
Was du auf der einen Seite tust, musst du auf der anderen ebenfalls tun. Klammern zuerst auflösen, danach erst zusammenfassen.
Aufgabe
Löse 3(x − 2) = x + 8.
Lösung und Rechenweg anzeigen
Aus 3x − 6 = x + 8 folgt 2x = 14, also x = 7. Probe: 3(7 − 2) = 15 und 7 + 8 = 15.