Zwei Schreibweisen
Eine quadratische Gleichung hat den Grad 2. Zuerst bringst du alles auf eine Seite, sodass rechts 0 steht. Danach entscheidest du zwischen p-q-Formel und Mitternachtsformel.
Die p-q-Formel verlangt, dass vor x² die Zahl 1 steht. Sonst zuerst durch a teilen.
Die Diskriminante
Unter der Wurzel steht die Diskriminante D. Sie sagt, wie viele reelle Lösungen es gibt.
- D > 0: zwei verschiedene reelle Lösungen
- D = 0: genau eine reelle Lösung (doppelte Nullstelle)
- D < 0: keine reelle Lösung
p-q-Formel
Löse x² − 8x + 12 = 0.
p und q ablesen
p = −8, q = 12. Dann ist p/2 = −4.
Diskriminante
Lösungen
x = 4 ± 2, also x₁ = 6 und x₂ = 2.
Typischer Fehler
Vorzeichen von p
FalschBei x² − 8x + 12 = 0 ist p = 8.
RichtigBei x² − 8x + 12 = 0 ist p = −8.
p ist der gesamte Koeffizient von x, inklusive Vorzeichen.
Mitternachtsformel
Wenn vor x² keine 1 steht, ist die abc-Formel oft direkter:
Für 2x² + 3x − 2 = 0 gilt a = 2, b = 3, c = −2. D = 9 + 16 = 25, also x = (−3 ± 5)/4. Die Lösungen sind x₁ = 1/2 und x₂ = −2.
Aufgaben
Aufgabe · Leicht
Zwei Lösungen
Lösung anzeigen
Aufgabe · Mittel
Doppelte Nullstelle
Lösung anzeigen
Aufgabe · Mittel
Zuerst teilen
Lösung anzeigen
Ein Beispiel
Löse x² − 6x + 5 = 0.
- Hier ist p = −6 und q = 5. Dann ist ()² − q = 9 − 5 = 4.
- Die Wurzel aus 4 ist 2. Damit gilt x = 3 ± 2.
- Die Lösungen sind x₁ = 5 und x₂ = 1. Probe: 25 − 30 + 5 = 0 und 1 − 6 + 5 = 0.
Darauf kommt es an
Ist die Diskriminante negativ, gibt es keine reelle Lösung. Vergiss nicht, die Gleichung zuerst auf 0 zu bringen. Bei ax² + bx + c = 0 durch a teilen, bevor du die p-q-Formel verwendest.
Aufgabe
Löse x² + 4x + 4 = 0.
Lösung und Rechenweg anzeigen
Es gilt p = 4 und q = 4. Die Diskriminante ist 4 − 4 = 0, also genau eine Lösung: x = −2. Das ist eine doppelte Nullstelle, (x + 2)² = 0.