Die Potenzgesetze
Eine Potenz aⁿ besteht aus der Basis a und dem Exponenten n. Die folgenden Regeln gelten, sobald die Ausdrücke definiert sind (insbesondere a ≠ 0 bei negativen Exponenten).
Wurzeln als Potenzen
Jede Wurzel lässt sich als Potenz mit Bruch-Exponenten schreiben. Damit gelten dieselben Regeln wie für ganzzahlige Exponenten.
Gerade Wurzeln sind im Reellen nur für a ≥ 0 definiert. Ungerade Wurzeln sind auch für negative Zahlen erlaubt, etwa ³√(−8) = −2.
Typischer Fehler
Wurzel einer Summe
Falsch√(a + b) = √a + √b
Richtig√(a + b) bleibt in der Regel stehen. Nur √(ab) = √a · √b.
Die Wurzel ist keine lineare Abbildung. Setze zur Kontrolle a = 9 und b = 16 ein.
Beispiel
Vereinfache für x ≠ 0.
Zähler ausrechnen
Bruch kürzen
27x⁶ / 9x⁴ = 3 x²
Probe mit einer Zahl
Für x = 2: Zähler 27 · 64 = 1728, Nenner 9 · 16 = 144, Quotient 12. Und 3 · 4 = 12.
Aufgaben
Aufgabe · Leicht
Gleiche Basis
Lösung anzeigen
Aufgabe · Mittel
Wurzel als Potenz
Lösung anzeigen
Aufgabe · Mittel
Negativer Exponent
Lösung anzeigen
Ein Beispiel
Vereinfache (2x³)² · x^{-4}.
- Quadriere den Faktor und den Exponenten getrennt: (2x³)² = 4x⁶.
- Multipliziere mit x^{-4}: 4x⁶ · x^{-4} = 4x^{2}.
- Das Ergebnis 4x² gilt für x ≠ 0, weil der ursprüngliche Term x^{-4} sonst nicht definiert ist.
Darauf kommt es an
√(a + b) ist nicht √a + √b. Exponenten addierst du nur bei gleicher Basis und Multiplikation, nicht bei Addition.
Aufgabe
Schreibe ⁸√x³ als Potenz mit einem Bruch.
Lösung und Rechenweg anzeigen
Es gilt ⁸√x³ = x^{\frac{3}{8}}. Kürzen geht hier nicht weiter, weil 3 und 8 teilerfremd sind.