Definition
Der Logarithmus beantwortet die Frage: Mit welchem Exponenten muss ich die Basis b potenzieren, um y zu erhalten?
Dabei gilt y > 0 sowie b > 0 und b ≠ 1. In der Analysis ist die Basis meist e; man schreibt ln x statt logₑ x. Der Zehnerlogarithmus heißt oft lg x.
Logarithmengesetze
Typischer Fehler
Summe im Argument
Falschlog(a + b) = log a + log b
Richtiglog(a · b) = log a + log b
Nur Produkte werden zu Summen. Eine Summe im Argument kannst du in der Regel nicht zerlegen.
Exponentialgleichung lösen
Löse 5ˣ = 40. Die 40 ist keine glatte Potenz von 5, also logarithmiert man.
Beide Seiten logarithmieren
ln(5ˣ) = ln 40
Exponent nach vorn
Nach x auflösen
x = ln 40 / ln 5 ≈ 2,292. Probe: 5 hoch 2,292 ist ungefähr 40.
Dieselbe Idee gilt für e-Funktionen: Aus e hoch 2x = 9 folgt 2x = ln 9 und x = (ln 9)/2.
Aufgaben
Aufgabe · Leicht
Glatte Potenz
Lösung anzeigen
Aufgabe · Mittel
Natürlicher Logarithmus
Lösung anzeigen
Aufgabe · Mittel
Gesetz anwenden
Lösung anzeigen
Ein Beispiel
Löse 2ˣ = 32.
- 32 ist eine Potenz von 2: 32 = 2⁵. Also gilt 2ˣ = 2⁵.
- Bei gleicher Basis folgen die Exponenten: x = 5.
- Mit Logarithmus: x = log₂(32) = 5. Probe: 2⁵ = 32.
Darauf kommt es an
log(a + b) ist nicht log a + log b. Das Argument eines Logarithmus muss positiv sein. ln(x) und log₁₀(x) sind verschiedene Funktionen.
Aufgabe
Löse e^{2x} = 7.
Lösung und Rechenweg anzeigen
Logarithmiere mit ln: 2x = ln 7, also x = Der Wert ist positiv, weil 7 > 1.