Trigonometrie – Grundlagen

Am rechtwinkligen Dreieck

In einem rechtwinkligen Dreieck liegen Sinus, Kosinus und Tangens eines spitzen Winkels α als Seitenverhältnisse fest.

Daraus folgt tan α = sin α / cos α, solange cos α ≠ 0. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite, gegenüber dem rechten Winkel.

Der trigonometrische Pythagoras

Kennst du einen der beiden Werte, folgt der andere bis auf das Vorzeichen. Im ersten Quadranten (0° bis 90°) sind Sinus und Kosinus positiv.

Am Einheitskreis gilt dasselbe für beliebige Winkel. In der Analysis rechnest du meist im Bogenmaß: 180° = π, 90° = π/2, 360° = 2π.

Typischer Fehler

Grad und Bogenmaß

Falschsin(90) im Bogenmaß-Modus ergibt 1.

Richtigsin(90°) = 1, aber sin(90 rad) ist eine ganz andere Zahl.

Stelle am Rechner DEG ein, wenn die Angabe in Grad ist, sonst RAD.

Beispiel

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse 13 und die Ankathete zu α gleich 5. Bestimme sin α, cos α und tan α.

Kosinus

\cos \alpha = \frac{5}{13}

Gegenkathete

Nach Pythagoras: √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12.

Sinus und Tangens

sin α = 12/13, tan α = 12/5 = 2,4. Kontrolle: (12/13)² + (5/13)² = 1.

Wichtige Werte

Winkel	sin	cos	tan
0°	0	1	0
30°	1/2	√3 / 2	1/√3
45°	√2 / 2	√2 / 2	1
60°	√3 / 2	1/2	√3
90°	1	0	—

Aufgaben

Aufgabe · Leicht

Verhältnis ablesen

Gegenkathete 7, Hypotenuse 25. Wie groß ist sin α?

Lösung anzeigen

sin α = 7/25 = 0,28.

Aufgabe · Mittel

Pythagoras und Kosinus

Hypotenuse 10, Gegenkathete 8. Bestimme cos α.

Lösung anzeigen

Ankathete = √(100 − 64) = 6, also cos α = 6/10 = 0,6.

Aufgabe · Mittel

Identität

Es sei sin α = 0,6 und α spitz. Berechne cos α und tan α.

Lösung anzeigen

cos α = √(1 − 0,36) = √0,64 = 0,8. tan α = 0,6 / 0,8 = 0,75.

Ein Beispiel

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse 10 und die Gegenkathete zu α gleich 6. Bestimme sin α und cos α.

$\sin \alpha = \frac{6}{10} = 0{,}6.$
Die Ankathete folgt aus Pythagoras: √(10² − 6²) = √64 = 8.
$\cos \alpha = \frac{8}{10} = 0{,}8. Kontrolle: 0{,}6^{2} + 0{,}8^{2} = 0{,}36 + 0{,}64 = 1.$

Darauf kommt es an

Sinus und Kosinus vertauschen sich, wenn du zum Komplementärwinkel 90° − α übergehst. Der Tangens ist bei 90° nicht definiert. Grad- und Bogenmaß nicht vermischen: im GTR oft auf RAD umstellen.

Aufgabe

Berechne tan α für dasselbe Dreieck.

Lösung und Rechenweg anzeigen

$\tan \alpha = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{6}{8} = 0{,}75. Dasselbe ergibt \sin \frac{\alpha}{\cos} \alpha = 0{,}\frac{6}{0}{,}8 = 0{,}75.$