Binomialverteilung · kostenlos · ohne Anmeldung

„Mindestens“ verstanden.
Den Ansatz gefunden.

Stochastik-Textaufgaben scheitern oft schon am ersten Satz. Übersetze die Formulierung, sieh die passenden Balken und übe, bis du die Grenzen sicher erkennst.

Eigene Zahlen ausprobieren

Vom Satz zum Ansatz

Wähle die Formulierung aus deiner Aufgabe. Du siehst sofort, welche Treffer zählen.

Anzahl der Versuche nTrefferwahrscheinlichkeit p in %

Was steht in der Aufgabe?

Trefferzahl k

Voraussetzung: unabhängige Versuche, zwei Ausgänge und dieselbe Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem Versuch.

Dein Ereignis

P(X ≥ 8)

8 zählt mit. Alle größeren Trefferzahlen auch.

22,7728 %

Markiert = zählt mit. Die Summe dieser Balken ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit.

So schreibst du den Ansatz auf

X = Anzahl der Treffer in 20 Versuchen, X ~ B(20; 0,3).

P(X ≥ 8) = 1 − F(7)

F(t) bedeutet P(X ≤ t), also die Summe aller Balken bis t. F(−1) = 0.

Werte sind gerundet. Die Berechnung summiert die Binomialwahrscheinlichkeiten direkt, ohne Normalapproximation.

Erkennst du den richtigen Ansatz?

10 kurze Textaufgaben. Falsche Antworten kommen später noch einmal dran.

0 von 10 Formulierungen gelöst

Aufgabe 1 von 10

Von 20 Freiwürfen sollen mindestens 8 treffen.

X ist die Anzahl der genannten Treffer. Welcher Ansatz passt?

P(X = 8)P(X ≥ 8)P(X ≤ 8)P(X < 8)

Eigene Übungsaufgaben. Dein Fortschritt gilt für diese Sitzung.

Dreimal mindestens: n gesucht

Wie viele Versuche brauchst du mindestens, damit mit mindestens einer vorgegebenen Sicherheit mindestens ein Treffer eintritt?

Trefferwahrscheinlichkeit pro Versuch in %Gewünschte Sicherheit in %

Gesucht ist mindestens ein Treffer. Für mindestens zwei oder mehr Treffer brauchst du einen anderen Ansatz.

Du brauchst mindestens

29 Versuche

1-(1-p)^n\geq s\quad\Rightarrow\quad n\geq\frac{\ln(1-s)}{\ln(1-p)}

s ist die gewünschte Sicherheit als Dezimalzahl. ln(1 − p) ist negativ: Beim Dividieren dreht sich das Ungleichheitszeichen um. Runde n auf die nächste ganze Zahl auf.

29 Versuche: 95,2899 % erreicht das Ziel
28 Versuche: 94,7665 % reicht noch nicht

Die Prozentanzeige ist gerundet; die Mindestanzahl wird mit ungerundeten Werten geprüft.

Zum Nachschlagen

Mindestens, höchstens, mehr als: der Spickzettel

Für ganzzahlige Trefferzahlen gilt: „mehr als k“ beginnt bei k + 1 und „weniger als k“ endet bei k − 1. F(t) = P(X ≤ t) ist die kumulierte Wahrscheinlichkeit bis einschließlich t.

Formulierungen in der Binomialverteilung richtig übersetzen
Im Text	Ereignis	Ansatz mit F	Grenze
genau k	X = k	P(X = k)	Nur der Balken bei k.
mindestens / wenigstens k	X ≥ k	1 − F(k − 1)	k zählt mit.
höchstens / nicht mehr als k	X ≤ k	F(k)	k zählt mit.
mehr als k	X > k	1 − F(k)	Erster möglicher Wert: k + 1.
weniger als k	X < k	F(k − 1)	Letzter möglicher Wert: k − 1.
a bis b, einschließlich	a ≤ X ≤ b	F(b) − F(a − 1)	Beide Grenzen zählen mit.
außerhalb von a bis b	X < a oder X > b	F(a − 1) + 1 − F(b)	Die Grenzen zählen nicht mit.

F(−1) = 0. Bei „zwischen“ immer den Kontext prüfen: Die Tabelle meint ausdrücklich eingeschlossene Grenzen.

Zwei Textaufgaben mit vollständigem Ansatz

Beispiel 1 · mindestens

Mindestens 8 Treffer bei 20 Freiwürfen

Ein Spieler trifft jeden Freiwurf mit Wahrscheinlichkeit 30 %. Wir nehmen unabhängige Würfe mit gleichbleibender Trefferchance an.

X zählt die Treffer, also X ~ B(20; 0,3).
„Mindestens 8“ heißt X ≥ 8. Genau 8 Treffer reichen schon.
Das Gegenereignis ist X ≤ 7, nicht X ≤ 8.

P(X\geq 8)=1-\sum_{i=0}^{7}\binom{20}{i}\,0{,}3^i\,0{,}7^{20-i}

Ergebnis: 22,7728 %.

Beispiel 2 · weniger als

Weniger als 3 defekte Bauteile

Jedes von 50 Bauteilen ist unabhängig von den anderen mit Wahrscheinlichkeit 5 % defekt.

X zählt die defekten Teile, also X ~ B(50; 0,05).
„Weniger als 3“ heißt X < 3. Erlaubt sind 0, 1 oder 2.
Summiere bis einschließlich 2.

P(X<3)=P(X\leq 2)=\sum_{i=0}^{2}\binom{50}{i}\,0{,}05^i\,0{,}95^{50-i}

Ergebnis: 54,0533 %.

Die Beispiele und Trainerfragen wurden für diese Seite erstellt; sie sind keine Original-Abituraufgaben.

Häufige Fragen zu Stochastik-Textaufgaben

Wann darf ich die Binomialverteilung verwenden?

Du zählst Treffer in einer festen Anzahl von Versuchen. Jeder Versuch hat zwei relevante Ausgänge, die Versuche sind unabhängig und die Trefferwahrscheinlichkeit bleibt gleich. Beim Ziehen ohne Zurücklegen aus einer kleinen Menge ändern sich die Wahrscheinlichkeiten. Dafür passt die Binomialverteilung im Allgemeinen nicht.

Die Voraussetzungen verstehen

Was ist der Unterschied zwischen mindestens und mehr als?

„Mindestens 8“ schließt die 8 ein. „Mehr als 8“ bedeutet bei Trefferzahlen mindestens 9. Dieser eine zusätzliche Balken kann die Wahrscheinlichkeit deutlich verändern.

Wie benutze ich das Gegenereignis?

Frag zuerst, welche Ergebnisse die Bedingung nicht erfüllen. Das Gegenereignis zu „mindestens k Treffer“ ist „höchstens k − 1 Treffer“. Beide Wahrscheinlichkeiten addieren sich zu 1.

Problemlösen Schritt für Schritt

Warum wird bei „dreimal mindestens“ n aufgerundet?

n zählt Versuche und muss ganzzahlig sein. Ergibt die Rechnung etwa 28,43, reichen 28 Versuche noch nicht aus. Du brauchst 29. Der Rechner oben prüft deshalb zusätzlich die Wahrscheinlichkeit bei n − 1.

Ist eine Rückgabequote automatisch eine unabhängige Trefferchance?

Nein. Ein Prozentwert allein reicht nicht als Begründung für das Modell. Gemeinsame Ursachen oder verschiedene Kundengruppen können die Unabhängigkeit oder eine konstante Wahrscheinlichkeit verletzen. Prüfe die Annahmen der Aufgabe, bevor du rechnest.

Weiterlernen und echte Prüfungsaufgaben

Zum Vertiefen: Bernoulli-Ketten beim Landesbildungsserver BW. Originalaufgaben mit Erwartungshorizont findest du in den Abituraufgabenpools des IQB.