Abstand eines Punktes von einer Ebene (HNF) einfach erklärt – Geometrie Abi BW

Das kannst du nach dieser Lektion

die Hessesche Normalenform (HNF) aufstellen
den Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen
den Lotfußpunkt mit einer Lotgeraden bestimmen

–3 Schritte · 4 Übungen

1Der kürzeste Weg ist senkrecht
2Rechnen mit der HNF
3Den Lotfußpunkt bestimmen
✎Üben

Schritt 1 / 3

Der kürzeste Weg ist senkrecht

Der Abstand eines Punktes $P$ von einer Ebene ist die Länge des Lots – der senkrechten Verbindung zur Ebene. Das Lot verläuft in Richtung des Normalenvektors $\vec n$ .

Normiert man die Koordinatenform (teilt durch $|\vec n|$ ), erhält man die Hessesche Normalenform. Setzt man $P$ ein, kommt direkt der Abstand heraus:

d(P,E)=\frac{|n_1p_1+n_2p_2+n_3p_3-d|}{\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}}

InteraktivAbstand Punkt–Ebene mit der Hesseschen Normalenform

Zum Drehen ziehen

p_1

p_2

p_3

Ebene: $E:\ 2x_1+1x_2+2x_3=4$
HNF: $d(P,E)=\frac{|2\cdot4+1\cdot3+2\cdot4-4|}{3}=5$
Lotfußpunkt: $F(0{,}67\mid 1{,}33\mid 0{,}67)$

Probier ausBewege

P

und beobachte die HNF-Rechnung. Wann wird der Abstand

0

? Dann liegt

P

in der Ebene.

Kurz nachgedacht

Abstand von $P(4\mid3\mid4)$ zu $E:\ 2x_1+x_2+2x_3=4$ ?

Beantworte am besten zuerst die Verständnisfrage.

Noch 2 weitere Schritte, dann folgen 4 Übungsaufgaben.