Anwendungen des Vektorprodukts einfach erklärt – Geometrie Abi BW

Das kannst du nach dieser Lektion

Flächeninhalte von Parallelogrammen und Dreiecken berechnen
Volumina von Spat und Pyramide bestimmen

–3 Schritte · 4 Übungen

1Länge des Vektorprodukts = Fläche
2Volumen mit dem Spatprodukt
3Höhe einer Pyramide
✎Üben

Schritt 1 / 3

Länge des Vektorprodukts = Fläche

Die Länge $|\vec a\times\vec b|$ ist genau der Flächeninhalt des Parallelogramms, das $\vec a$ und $\vec b$ aufspannen. Ein Dreieck ist die Hälfte davon.

A_{\text{Parallelogramm}}=|\vec a\times\vec b|\qquad A_{\text{Dreieck}}=\tfrac12|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|

InteraktivVektorprodukt: senkrecht auf beiden, Länge = Parallelogrammfläche

Zum Drehen ziehen

$\vec a$
$\vec b$
$\vec a\times\vec b$

b_1

b_2

b_3

Vektorprodukt: $\begin{pmatrix}2\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}$
Probe: $(\vec a\times\vec b)\cdot\vec a=0,\ (\vec a\times\vec b)\cdot\vec b=0$
Fläche: $A=|\vec a\times\vec b|=4$

Probier ausDie Fläche des violetten Parallelogramms steht in der Anzeige. Mach

\vec b

parallel zu

\vec a

– die Fläche wird null.

Musterbeispiel – Schritt für Schritt

Fläche des Dreiecks $A(1\mid0\mid0)$ , $B(0\mid2\mid0)$ , $C(0\mid0\mid3)$ .

0 / 2Überlege dir vorher, wie du anfangen würdest.

Kurz nachgedacht

Fläche des Parallelogramms aus $\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}$ ?

Beantworte am besten zuerst die Verständnisfrage.

Noch 2 weitere Schritte, dann folgen 4 Übungsaufgaben.