Vektorielle Beweise einfach erklärt – Geometrie Abi BW

Das kannst du nach dieser Lektion

geometrische Aussagen mit Vektoren formulieren
geschlossene Vektorketten zum Beweisen nutzen
Orthogonalität mit dem Skalarprodukt beweisen

–3 Schritte · 4 Übungen

1Ein Beweis gilt für alle Figuren
2Die Diagonalen halbieren sich
3Rechte Winkel beweisen
✎Üben

Schritt 1 / 3

Ein Beweis gilt für alle Figuren

Mit Vektoren kann man geometrische Sätze allgemein beweisen – nicht nur für ein Beispiel. Man drückt alle Strecken durch zwei (oder drei) Basisvektoren aus, etwa $\vec a=\overrightarrow{AB}$ und $\vec b=\overrightarrow{AD}$ im Parallelogramm.

InteraktivBeweis: Die Diagonalen eines Parallelogramms halbieren sich

Vektorzerlegung zeigen

Weg 1: $\vec{AM}=\tfrac12(\vec a+\vec b)$ (halbe Diagonale $AC$ )
Weg 2: $\vec{AM}=\vec a+\tfrac12(\vec b-\vec a)=\tfrac12(\vec a+\vec b)$ (über $B$ , halbe Diagonale $BD$ )
Folgerung: Beide Wege treffen denselben Punkt – für jedes Parallelogramm.

Probier ausVerzerre das Parallelogramm beliebig. Der Schnittpunkt der Diagonalen bleibt immer genau in der Mitte beider Diagonalen – der Beweis zeigt, warum.

Kurz nachgedacht

Im Parallelogramm $ABCD$ mit $\vec a=\overrightarrow{AB}$ und $\vec b=\overrightarrow{AD}$ : Wie lautet $\overrightarrow{BD}$ ?

Beantworte am besten zuerst die Verständnisfrage.

Noch 2 weitere Schritte, dann folgen 4 Übungsaufgaben.