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Geometrie · Lektion 14 von 18

Winkel zwischen Vektoren (Skalarprodukt)

Wie bestimmst du den Winkel aus den Komponenten?

Das kannst du nach dieser Lektion

  • den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen
  • Schnittwinkel von Geraden und Ebenen bestimmen
  • Sinus und Kosinus richtig zuordnen
–3 Schritte · 4 Übungen
  1. 1Die Winkelformel
  2. 2Schnittwinkel: Gerade–Gerade und Ebene–Ebene
  3. 3Gerade–Ebene: Sinus statt Kosinus
  4. ✎Üben
Schritt 1 / 3

Die Winkelformel

Das Skalarprodukt hängt mit dem Winkel φ\varphi zwischen den Vektoren zusammen: a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣⋅∣b⃗∣⋅cos⁡φ\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos\varphi. Umgestellt:

cos⁡φ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣⋅∣b⃗∣\cos\varphi=\frac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}
InteraktivSkalarprodukt: Wie sehr zeigen zwei Vektoren in dieselbe Richtung?
Zwei Vektoren mit Skalarproduktxy-4-3-2-1123456-3-2-112345φab
  • a⃗\vec a
  • b⃗\vec b
  • Projektion von b⃗\vec b auf a⃗\vec a

Ziehe die Pfeilspitzen. Versuche, das Skalarprodukt genau 0 zu machen.

Skalarprodukt
a⃗⋅b⃗=4⋅1+1⋅3=7\vec a\cdot\vec b=4\cdot1+1\cdot3=7
Winkel
cos⁡φ=74,12⋅3,16⇒φ≈57,5∘\cos\varphi=\frac{7}{4{,}12\cdot3{,}16}\Rightarrow\varphi\approx57{,}5^\circ
Deutung
positiv: spitzer Winkel (unter 90°)
Probier ausZiehe die Pfeile und vergleiche den berechneten Winkel mit dem Bild. Was passiert mit cos⁡φ\cos\varphi bei 90∘90^\circ und bei über 90∘90^\circ?

Musterbeispiel – Schritt für Schritt

Winkel zwischen a⃗=(122)\vec a=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix} und b⃗=(201)\vec b=\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}.

    0 / 3Überlege dir vorher, wie du anfangen würdest.

    Kurz nachgedacht

    Winkel zwischen (100)\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} und (110)\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} in Grad?

    Beantworte am besten zuerst die Verständnisfrage.

    Noch 2 weitere Schritte, dann folgen 4 Übungsaufgaben.