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Geometrie · Lektion 05 von 18

Normalengleichung und Koordinatengleichung einer Ebene

Wie beschreibt eine senkrechte Richtung eine Ebene?

Das kannst du nach dieser Lektion

  • den Normalenvektor einer Ebene verstehen
  • Ebenen in Normalen- und Koordinatenform angeben
  • die Punktprobe mit der Koordinatenform durchführen
–3 Schritte · 4 Übungen
  1. 1Ein Vektor, der senkrecht absteht
  2. 2Die Koordinatenform
  3. 3Punktprobe in Sekunden
  4. ✎Üben
Schritt 1 / 3

Ein Vektor, der senkrecht absteht

Statt eine Ebene mit zwei Richtungsvektoren zu beschreiben, kann man einen einzigen Vektor n⃗\vec n nehmen, der senkrecht auf der Ebene steht – den Normalenvektor.

Ein Punkt XX liegt genau dann in der Ebene, wenn der Vektor AX→\overrightarrow{AX} senkrecht auf n⃗\vec n steht, also das Skalarprodukt null ist:

E: (x⃗−a⃗)⋅n⃗=0E:\ (\vec x-\vec a)\cdot\vec n=0
InteraktivNormalenvektor: Jeder Vektor in der Ebene steht senkrecht auf n⃗\vec n
Ebene mit Normalenvektorx₁x₂x₃AP

Zum Drehen ziehen

  • Normalenvektor n⃗\vec n
  • AP⃗\vec{AP}
Normalenform
(x⃗−(121))⋅(112)=0\left(\vec x-\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}=0
Koordinatenform
1x1+1x2+2x3=51x_1+1x_2+2x_3=5
Test
AP⃗⋅n⃗=2\vec{AP}\cdot\vec n=2
Ergebnis
PP liegt nicht in der Ebene (auf der Seite, in die n⃗\vec n zeigt).
Probier ausVerschiebe PP, bis AP→⋅n⃗=0\overrightarrow{AP}\cdot\vec n=0 ist – zum Beispiel zu P(3∣2∣0)P(3\mid2\mid0). Dreh das Bild: Liegt PP dann wirklich in der Ebene?

Kurz nachgedacht

E: (x⃗−(121))⋅(112)=0E:\ \left(\vec x-\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix}=0. Liegt P(2∣1∣1)P(2\mid1\mid1) in EE?

Beantworte am besten zuerst die Verständnisfrage.

Noch 2 weitere Schritte, dann folgen 4 Übungsaufgaben.