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Geometrie · Lektion 08 von 18

Gegenseitige Lage von Ebenen und Geraden

Schneidet eine Gerade die Ebene oder läuft sie parallel?

Das kannst du nach dieser Lektion

  • die Lage von Gerade und Ebene bestimmen
  • den Schnittpunkt berechnen
  • die Lage schnell mit dem Skalarprodukt vorab prüfen
–3 Schritte · 4 Übungen
  1. 1Drei Möglichkeiten
  2. 2Schnittpunkt berechnen
  3. 3Schnelltest mit dem Normalenvektor
  4. ✎Üben
Schritt 1 / 3

Drei Möglichkeiten

Eine Gerade kann eine Ebene schneiden (genau ein gemeinsamer Punkt), echt parallel zu ihr sein (kein Punkt) oder in ihr liegen (unendlich viele Punkte).

Rechenweg mit Koordinatenform: Setze die Geradengleichung (Zeile für Zeile) in die Ebenengleichung ein. Es entsteht eine Gleichung in tt.

InteraktivGerade und Ebene: schneiden, parallel oder enthalten?
Gerade und Ebenex₁x₂x₃AS

Zum Drehen ziehen

Fall
Ebene
E: x1+x2+x3=3E:\ x_1+x_2+x_3=3
Gerade
g: x⃗=(223)+t(111)g:\ \vec x=\begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
Einsetzen
3 t=−43\,t=-4
Folgerung
genau eine Lösung t=−1,33t=-1{,}33 → Schnittpunkt S(0,67∣0,67∣1,67)S(0{,}67\mid 0{,}67\mid 1{,}67)
Probier ausSchalte durch die drei Fälle und vergleiche die Gleichung „Einsetzen“: Eine Lösung, Widerspruch oder immer wahr.

Kurz nachgedacht

Beim Einsetzen entsteht 0⋅t=40\cdot t=4. Welche Lage liegt vor?

Beantworte am besten zuerst die Verständnisfrage.

Noch 2 weitere Schritte, dann folgen 4 Übungsaufgaben.