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Analysis · Lektion 07 von 25

Ableitungen

Wie steil ist ein Graph an genau einer Stelle?

Das kannst du nach dieser Lektion

  • erklären, was die Ableitung f′(x0)f'(x_0) anschaulich bedeutet
  • die Steigung mit dem Differenzenquotienten annähern
  • Ableitungen aus einem Graphen ablesen und skizzieren
  • einfache Potenzfunktionen ableiten
–5 Schritte · 6 Übungen
  1. 1Wie steil ist ein Graph?
  2. 2Die Idee: erst eine Sekante
  3. 3Grenzwert: aus der Sekante wird die Tangente
  4. 4Die Ableitungsfunktion
  5. 5Die Potenzregel
  6. ✎Üben
Schritt 1 / 5

Wie steil ist ein Graph?

Bei einer Geraden ist die Steigung überall gleich: Gehst du eine Einheit nach rechts, geht es immer um mm nach oben. Bei einer Kurve wie f(x)=12x2f(x)=\tfrac12x^2 ändert sich die Steilheit aber ständig – links fällt sie, rechts wird sie immer steiler.

Die Frage dieser Lektion lautet also: **Wie steil ist der Graph genau an einer Stelle x0x_0? Die Antwort nennt man die Ableitung** f′(x0)f'(x_0).

InteraktivDie Ableitungsfunktion sammelt alle Tangentensteigungen
Graph von f mit Tangentexy-4-3-2-11234-2246f
  • ff
  • Tangente
Stelle
x0=0,3x_0=0{,}3
Steigung
f′(x0)=0,3f'(x_0)=0{,}3
Probier ausZiehe den Punkt auf dem Graphen. Die gestrichelte Tangente schmiegt sich an die Kurve an. Beobachte den Wert f′(x0)f'(x_0): Wo ist er negativ, wo null, wo positiv?

Kurz nachgedacht

Bei welcher Stelle hat f(x)=12x2f(x)=\tfrac12x^2 die Steigung 00?

Beantworte am besten zuerst die Verständnisfrage.

Noch 4 weitere Schritte, dann folgen 6 Übungsaufgaben.