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Analysis · Lektion 10 von 25

Monotonie untersuchen

In welchen Bereichen steigt oder fällt ein Graph?

Das kannst du nach dieser Lektion

  • Monotonie am Graphen und an der Ableitung erkennen
  • Monotonieintervalle mit einer Vorzeichentabelle bestimmen
  • den Monotoniesatz korrekt anwenden
–3 Schritte · 4 Übungen
  1. 1Steigend oder fallend?
  2. 2Das Verfahren: Vorzeichentabelle
  3. 3Sonderfall: waagerechte Tangente ohne Umkehr
  4. ✎Üben
Schritt 1 / 3

Steigend oder fallend?

Eine Funktion ist auf einem Intervall streng monoton steigend, wenn größere xx-Werte immer größere Funktionswerte haben. Beim Lesen von links nach rechts geht es bergauf.

Der Monotoniesatz verbindet das mit der Ableitung: Ist f′(x)>0f'(x)>0 auf einem Intervall, steigt ff dort streng. Ist f′(x)<0f'(x)<0, fällt ff streng.

InteraktivMonotonie: Das Vorzeichen von f′f' entscheidet
Graph von f mit Tangentexy-3-2-112345-8-6-4-2246Graph von f'xf'-3-2-112345-4-224681012-3,9
  • steigend (f′>0f'>0)
  • fallend (f′<0f'<0)
Stelle
x0=1,3x_0=1{,}3
Steigung
f′(x0)=−3,91f'(x_0)=-3{,}91
Hier gilt
Der Graph fällt.
Probier ausDer Graph ist nach Monotonie eingefärbt. Vergleiche mit dem Graphen von f′f': Wo liegt er über, wo unter der x-Achse?

Kurz nachgedacht

Auf welchem Intervall fällt die dargestellte Funktion f(x)=13x3−x2−3x+2f(x)=\tfrac13x^3-x^2-3x+2?

Beantworte am besten zuerst die Verständnisfrage.

Noch 2 weitere Schritte, dann folgen 4 Übungsaufgaben.