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Analysis · Lektion 11 von 25

Extremwerte bestimmen

Wie findest du Hoch- und Tiefpunkte zuverlässig?

Das kannst du nach dieser Lektion

  • Hoch- und Tiefpunkte mit der notwendigen Bedingung finden
  • Extrema mit Vorzeichenwechsel oder zweiter Ableitung nachweisen
  • lokale und globale Extrema unterscheiden
–4 Schritte · 5 Übungen
  1. 1Notwendige Bedingung: waagerechte Tangente
  2. 2Hinreichend (1): Vorzeichenwechsel
  3. 3Hinreichend (2): zweite Ableitung
  4. 4Lokal oder global?
  5. ✎Üben
Schritt 1 / 4

Notwendige Bedingung: waagerechte Tangente

An einem Hoch- oder Tiefpunkt ist die Tangente waagerecht. Also muss dort f′(x0)=0f'(x_0)=0 gelten. Diese Bedingung ist notwendig – sie liefert die Kandidaten.

InteraktivExtremstellen: f′f' wechselt das Vorzeichen
Graph von f mit Tangentexy-2,5-2-1,5-1-0,50,511,522,5-4-3-2-11234fHTGraph von f'xf'-2,5-2-1,5-1-0,50,511,522,5-4-224681012-2,7
  • ff
  • Tangente
  • f′f'
Stelle
x0=0,3x_0=0{,}3
Steigung
f′(x0)=−2,73f'(x_0)=-2{,}73
Extremstellen
Hochpunkt bei x=−1x=-1, Tiefpunkt bei x=1x=1
Probier ausZiehe den Punkt zum Hochpunkt und zum Tiefpunkt. Beobachte f′f' unten: Es hat dort Nullstellen – und wechselt das Vorzeichen.

Kurz nachgedacht

Bestimme die Kandidaten für Extremstellen von f(x)=x3−3xf(x)=x^3-3x.

Beantworte am besten zuerst die Verständnisfrage.

Noch 3 weitere Schritte, dann folgen 5 Übungsaufgaben.