a.matheabiBADEN-WÜRTTEMBERG
Themen finden

Analysis · Lektion 20 von 25

Uneigentliche Integrale

Kann eine unendlich lange Fläche einen endlichen Inhalt haben?

Laut Abitur-Erlass des Kultusministeriums ist dieses Thema nicht Gegenstand der schriftlichen Abiturprüfung. Es hilft aber beim Verständnis und kann im Unterricht vorkommen.

Das kannst du nach dieser Lektion

  • Integrale über unbeschränkte Intervalle als Grenzwert berechnen
  • entscheiden, ob ein uneigentliches Integral konvergiert
  • Integrale mit Polstelle am Rand behandeln
–3 Schritte · 4 Übungen
  1. 1Eine unendlich lange Fläche
  2. 2Exponentielles Abklingen
  3. 3Polstelle am Rand
  4. ✎Üben
Schritt 1 / 3

Eine unendlich lange Fläche

Kann eine unendlich lange Fläche einen endlichen Inhalt haben? Überraschenderweise ja – wenn der Graph schnell genug gegen null geht.

Rechentrick: Ersetze die unendliche Grenze durch eine Variable bb, berechne das Integral und lasse dann b→∞b\to\infty laufen.

∫a∞f(x) dx=lim⁡b→∞∫abf(x) dx\int_a^\infty f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx
InteraktivUnendlich lange Fläche – endlicher Inhalt?
Fläche bis zur Grenze bxy123456789100,511,52… Fläche geht weiter bis b = 10
Funktion
Fläche bis bb
∫1101x2 dx=0,9\int_{1}^{10}\frac1{x^2}\,dx=0{,}9
Grenzwert b→∞b\to\infty
11
Bedeutung
Die Fläche nähert sich einem festen Wert – das Integral konvergiert.
Probier ausZiehe bb ganz nach rechts. Bei 1x2\frac1{x^2} nähert sich die Fläche der 1. Bei 1x\frac1x wächst sie immer weiter – wenn auch sehr langsam.

Musterbeispiel – Schritt für Schritt

Berechne ∫1∞1x2 dx\int_1^\infty\frac{1}{x^2}\,dx.

    0 / 2Überlege dir vorher, wie du anfangen würdest.

    Kurz nachgedacht

    Konvergiert ∫1∞1x dx\int_1^\infty\frac1x\,dx?

    Beantworte am besten zuerst die Verständnisfrage.

    Noch 2 weitere Schritte, dann folgen 4 Übungsaufgaben.