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Analysis · Lektion 17 von 25

Flächen zwischen Kurven

Wie groß ist der Bereich zwischen zwei Graphen?

Das kannst du nach dieser Lektion

  • die Fläche zwischen zwei Graphen über die Differenzfunktion berechnen
  • Schnittstellen als Integrationsgrenzen bestimmen
  • Flächen mit mehreren Schnittstellen abschnittsweise berechnen
–3 Schritte · 4 Übungen
  1. 1Oben minus unten
  2. 2Das Verfahren
  3. 3Mehr als zwei Schnittstellen
  4. ✎Üben
Schritt 1 / 3

Oben minus unten

Die Fläche zwischen zwei Graphen ist die Fläche unter dem oberen minus die Fläche unter dem unteren. Das lässt sich in einem Integral schreiben – mit der Differenzfunktion d(x)=f(x)−g(x)d(x)=f(x)-g(x):

Schön daran: Es ist egal, ob die Graphen über oder unter der x-Achse liegen. Nur der Abstand f(x)−g(x)f(x)-g(x) zählt.

A=∣∫ab(f(x)−g(x)) dx∣A=\left|\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx\right|
InteraktivFläche zwischen zwei Graphen: Differenzfunktion integrieren
Fläche zwischen zwei Kurvenxy-3-2-1123-2-112345
  • f(x)=−x2+4f(x)=-x^2+4
  • g(x)=x+2g(x)=x+2
Schnittstellen
−2; 1-2;\ 1
Fläche
A=∣∫−21(f(x)−g(x))dx∣=4,5A=\left|\int_{-2}^{1}\big(f(x)-g(x)\big)dx\right|=4{,}5
Probier ausBlende die Differenzfunktion ein. Die Fläche zwischen den Graphen ist genauso groß wie die Fläche unter d(x).

Kurz nachgedacht

Die Graphen von f(x)=−x2+4f(x)=-x^2+4 und g(x)=x+2g(x)=x+2 schneiden sich. Bestimme die Schnittstellen.

Beantworte am besten zuerst die Verständnisfrage.

Noch 2 weitere Schritte, dann folgen 4 Übungsaufgaben.