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Analysis · Lektion 19 von 25

Rotationskörper

Welches Volumen entsteht beim Drehen um die x-Achse?

Dieses Thema gehört laut Bildungsplan nur zum Leistungsfach (schriftliches Abitur). Im Basisfach wird es nicht geprüft.

Das kannst du nach dieser Lektion

  • verstehen, wie aus einer Fläche ein Rotationskörper entsteht
  • das Volumen mit der Scheibenformel berechnen
  • Formeln für Kegel und Kugel herleiten
–3 Schritte · 4 Übungen
  1. 1Eine Fläche dreht sich
  2. 2Kegel und Kugel
  3. 3Hohlkörper: zwei Graphen
  4. ✎Üben
Schritt 1 / 3

Eine Fläche dreht sich

Lässt man die Fläche unter einem Graphen um die x-Achse rotieren, entsteht ein Körper – etwa eine Vase oder ein Kegel. Um sein Volumen zu bestimmen, schneidet man ihn in dünne Scheiben (Zylinder).

Eine Scheibe an der Stelle xx hat den Radius f(x)f(x) und die Dicke Δx\Delta x. Ihr Volumen ist π⋅f(x)2⋅Δx\pi\cdot f(x)^2\cdot\Delta x. Aufsummieren und Grenzwert bilden ergibt ein Integral.

V=π∫abf(x)2 dxV=\pi\int_a^b f(x)^2\,dx
InteraktivRotationskörper: aus lauter dünnen Scheiben
Rotation um die x-Achsexy-0,50,511,522,533,544,5-2-112
Summe der Scheiben
∑πri2 Δx=25,133\sum \pi r_i^2\,\Delta x=25{,}133
Volumen
V=π∫04f(x)2 dx=25,133V=\pi\int_{0}^{4} f(x)^2\,dx=25{,}133
Probier ausErhöhe die Anzahl der Scheiben. Die Summe der Scheibenvolumina nähert sich dem exakten Volumen.

Kurz nachgedacht

Welches Volumen entsteht bei Rotation von f(x)=xf(x)=\sqrt x auf [0;4][0;4]? Gib das Ergebnis als Vielfaches von π\pi an (nur den Faktor).

Beantworte am besten zuerst die Verständnisfrage.

Noch 2 weitere Schritte, dann folgen 4 Übungsaufgaben.